1. APPROCHE CLASSIQUE MUS
1. 1. Approche classique MUS — une période
| NON STRATIFIÉ | STRATIFIÉ
| Calcul de la taille de l’échantillon
| nzBVσrTEAE2 |
nzBVσrwTEAE2
nhBVhBVn
où
σrw2 = la moyenne pondérée des variances des taux d’erreur pour l’ensemble des strates, le poids de chaque strate étant égal au rapport entre la valeur comptable de la strate (BVh) et la valeur comptable de l’ensemble de la population (BV)
σrw2Hi1BVhBVσrh2,h1,2,…,H;
et σrh2 = la variance des taux d’erreur définis dans chaque strate
|
où
BVla valeur comptable de la population (dépenses totales déclarées)
zle coefficient z d’une distribution normale
TEl’erreur acceptable (au maximum 2 % des dépenses totales)
AEl’erreur anticipée
σrl’écart type des taux d’erreur
| Extrapolation des erreurs
|
Erreur extrapolée (approche classique MUS/PPS):
Dans le cas de la strate exhaustive, l’erreur extrapolée correspond à la somme des erreurs trouvées dans les unités appartenant à la strate:
EEenei1Ei
Dans le cas de la strate non exhaustive, à savoir la strate contenant les unités d’échantillonnage dont la valeur comptable est inférieure à l’intervalle BViBVn, l’erreur extrapolée est:
EEsSInsi1EiBVi
L’erreur extrapolée au niveau de la population correspond à la somme des deux composantes susmentionnées:
EEEEeEEs
|
Erreur extrapolée (approche classique MUS/PPS):
Dans le cas des groupes exhaustifs, l’erreur extrapolée correspond à la somme des erreurs trouvées dans les unités appartenant à ces groupes:
EEeHh1nhi1Ehi
Dans le cas des groupes non exhaustifs, à savoir les groupes contenant les unités d’échantillonnage dont la valeur comptable est inférieure à l’intervalle BVhiBVhnh, l’erreur extrapolée est:
EEsHh1BVhsnhsnhsi1EhiBVhi
L’erreur extrapolée au niveau de la population correspond simplement à la somme des deux composantes susmentionnées:
EEEEeEEs
|
Précision de l’échantillonnage:
SEzBVsnssr
où sr représente l’écart type des taux d’erreur obtenu pour l’échantillon de la strate non exhaustive (calculé à partir du même échantillon que celui utilisé pour l’extrapolation des erreurs à l’ensemble de la population)
|
Précision de l’échantillonnage:
SEzHh1BVhs2nhs.srhs2
où srhs représente l’écart type des taux d’erreur obtenu pour l’échantillon du groupe non exhaustif de la strate h (calculé à partir du même échantillon que celui utilisé pour l’extrapolation des erreurs à l’ensemble de la population)
1. 2. Approche classique MUS — deux périodes
| NON STRATIFIÉ | STRATIFIÉ
| Calcul de la taille de l’échantillon
|
Première période
n12zBV12σrw122TEAE2
où
σrw122BV1BV12σr12BV2BV12σr22
BV12BV1BV2
ntBVtBV12n12
|
Première période
n12zBV12σrw122TEAE2
où
σrw122σrw12σrw22
σrwt2Hti1BVhtBVσrht2,h1,2,…,Ht;
BV12BV1BV2
nhtBVhtBVn
|
Deuxième période
n2zBV2σr22TEAE2z2BV12n1sr12
|
Deuxième période
n2z2BV2H2h1BVh2.σrh22TEAE2z2H1h1BVh12nh1.srh12
où
nh2BVh2BV2n2
|
Remarques:
Si différentes approximations ne peuvent être obtenues ou ne sont pas applicables pour les écarts types de chaque période, la même valeur d’écart type peut être appliquée à toutes les périodes. Dans ce cas, σrw12 correspond simplement à l’écart type unique des taux d’erreur σr.
Le paramètre σ désigne l’écart type obtenu à partir de données auxiliaires (données historiques, par exemple) et le paramètre s désigne l’écart type obtenu à partir de l’échantillon contrôlé. Dans les formules, si le paramètre s n’est pas disponible, il peut être remplacé par σ.
Les formules énoncées sous l’intitulé «Première période» sont utilisées pour calculer la taille de l’échantillon après la première période d’échantillonnage de l’exercice comptable dans le cas d’un recalcul classique de la taille de l’échantillon visé à l’article 5, paragraphe 6, point a). Dans le cas du recalcul global de la taille de l’échantillon visé à l’article 5, paragraphe 6, point b), ces formules sont utilisées après la première période d’échantillonnage et, si nécessaire, également après la deuxième période d’échantillonnage, afin de s’adapter aux paramètres d’échantillonnage actualisés.
Les formules énoncées sous l’intitulé «Deuxième période» ne s’appliquent que dans le cas d’un recalcul classique de la taille de l’échantillon visé à l’article 5, paragraphe 6, point a). Elles sont utilisées pour recalculer la taille de l’échantillon de la deuxième période afin de l’ajuster aux paramètres d’échantillonnage actualisés. Si la formule aboutit à un nombre négatif, la formule et, par conséquent, l’approche classique du recalcul de la taille de l’échantillon ne peuvent pas être appliquées sur la base de l’ensemble établi des paramètres actualisés.
| Extrapolation des erreurs
|
Erreur extrapolée (approche classique MUS/PPS):
Dans le cas des strates exhaustives, l’erreur extrapolée correspond à la somme des erreurs trouvées dans les unités appartenant aux strates:
EEen1i1E1in2i1E2i
Dans le cas des strates non exhaustives, à savoir les strates contenant les unités d’échantillonnage dont la valeur comptable est inférieure à l’intervalle BViBVn, l’erreur extrapolée est:
EEsBV1sn1sn1si1E1iBV1iBV2sn2sn2si1E2iBV2i
L’erreur extrapolée au niveau de la population correspond à la somme des deux composantes susmentionnées:
EEEEeEEs
|
Erreur extrapolée (approche classique MUS/PPS):
Dans le cas des strates exhaustives, l’erreur extrapolée correspond à la somme des erreurs trouvées dans les unités appartenant aux strates:
EEeH1h1nh1i1Eh1iH2h1nh2i1Eh2i
Dans le cas des strates non exhaustives, à savoir les strates contenant les unités d’échantillonnage dont la valeur comptable est inférieure à l’intervalle BViBVn, l’erreur extrapolée est:
EEsH1h1BVh1snh1s.nh1si1Eh1iBVh1iH2h1BVh2snh2s.nh2si1Eh2iBVh2i
L’erreur extrapolée au niveau de la population correspond à la somme des deux composantes susmentionnées:
EEEEeEEs
|
Précision de l’échantillonnage:
SEzBV1s2n1ssr1s2BV2s2n2ssr2s2
où srt représente l’écart type des taux d’erreur obtenu pour l’échantillon des strates non exhaustives de la période t (calculé à partir du même échantillon que celui utilisé pour l’extrapolation des erreurs à l’ensemble de la population)
|
Précision de l’échantillonnage:
SEzH1h1BVh1s2nh1s.srh1s2H2h1BVh2s2nh2s.srh2s2
où srhts représente l’écart type des taux d’erreur obtenu pour l’échantillon du groupe non exhaustif de la strate h de la période t (calculé à partir du même échantillon que celui utilisé pour l’extrapolation des erreurs à l’ensemble de la population)
1. 3. Approche classique MUS — trois périodes
| NON STRATIFIÉ | STRATIFIÉ
| Calcul de la taille de l’échantillon
|
Première période
n123zBV123σrw1232TEAE2
où
σrw1232BV1BV123σr12BV2BV123σr22BV3BV123σr32
BV123BV1BV2BV3
ntBVtBV123n123
|
Première période
n123zBV123σrw1232TEAE2
où
σrw1232σrw12σrw22σrw32
σrwt2Hti1BVhtBVσrht2,h1,2,…,Ht;
BV123BV1BV2BV3
nhtBVhtBVn
|
Deuxième période
n23zBV23σrw232TEAE2z2BV12n1sr12
où
σrw232BV2BV23σr22BV3BV23σr32
BV23BV2BV3
ntBVtBV23n23
|
Deuxième période
n23z2BV23H2h1BVh2.σrh22H3h1BVh3.σrh32TEAE2z2H1h1BVh12nh1.srh12
où
BV23BV2BV3
nhtBVhtBV23n23
|
Troisième période
n3zBV3σr32TEAE2z2BV12n1sr12z2BV22n2sr22
|
Troisième période
n3z2BV3H3h1BVh3.σrh32TEAE2z2H1h1BVh12nh1.srh12z2H2h1BVh22nh2.srh22
nh3BVh3BV3n3
|
Remarques:
Si différentes approximations ne peuvent être obtenues ou ne sont pas applicables pour les écarts types de chaque période, la même valeur d’écart type peut être appliquée à toutes les périodes. Dans ce cas, σrw123 correspond simplement à l’écart type unique des taux d’erreur σr.
Le paramètre σ désigne l’écart type obtenu à partir de données auxiliaires (données historiques, par exemple) et le paramètre s désigne l’écart type obtenu à partir de l’échantillon contrôlé. Dans les formules, si le paramètre s n’est pas disponible, il peut être remplacé par σ.
Voir également les remarques susmentionnées pour l’approche classique MUS à deux périodes en ce qui concerne l’utilisation de l’approche classique pour le recalcul de la taille de l’échantillon et l’approche globale visées à l’article 5, paragraphe 6.
| Extrapolation des erreurs
|
Erreur extrapolée (approche classique MUS/PPS):
Dans le cas des strates exhaustives, l’erreur extrapolée correspond à la somme des erreurs trouvées dans les unités appartenant aux strates:
EEen1i1E1in2i1E2in3i1E3i
Dans le cas des strates non exhaustives, à savoir les strates contenant les unités d’échantillonnage dont la valeur comptable est inférieure à l’intervalle BViBVn, l’erreur extrapolée est:
EEsBV1sn1sn1si1E1iBV1iBV2sn2sn2si1E2iBV2iBV3sn3sn3si1E3iBV3i
L’erreur extrapolée au niveau de la population correspond à la somme des deux composantes susmentionnées:
EEEEeEEs
|
Erreur extrapolée (approche classique MUS/PPS):
Dans le cas des strates exhaustives, l’erreur extrapolée correspond à la somme des erreurs trouvées dans les unités appartenant aux strates:
EEeH1h1nh1i1Eh1iH2h1nh2i1Eh2iH3h1nh3i1Eh3i
Dans le cas des strates non exhaustives, à savoir les strates contenant les unités d’échantillonnage dont la valeur comptable est inférieure à l’intervalle BViBVn, l’erreur extrapolée est:
EEsH1h1BVh1snh1s.nh1si1Eh1iBVh1iH2h1BVh2snh2s.nh2si1Eh2iBVh2iH3h1BVh3snh3s.nh1si1Eh3iBVh3i
L’erreur extrapolée au niveau de la population correspond à la somme des deux composantes susmentionnées:
EEEEeEEs
|
Précision de l’échantillonnage:
SEzBV1s2n1ssr1s2BV2s2n2ssr2s2BV3s2n3ssr3s2
où srts représente l’écart type des taux d’erreur obtenu pour l’échantillon des strates non exhaustives de la période t (calculé à partir du même échantillon que celui utilisé pour l’extrapolation des erreurs à l’ensemble de la population)
|
Précision de l’échantillonnage:
SEzH1h1BVh1s2nh1s.srh1s2H2h1BVh2s2nh2s.srh2s2H3h1BVh3s2nh3s.srh3s2
où srhts représente l’écart type des taux d’erreur obtenu pour l’échantillon du groupe non exhaustif de la strate h de la période t (calculé à partir du même échantillon que celui utilisé pour l’extrapolation des erreurs à l’ensemble de la population)
2. ÉCHANTILLONNAGE ALÉATOIRE SIMPLE
2. 1. Échantillonnage aléatoire simple — une période
| NON STRATIFIÉ | STRATIFIÉ
| Calcul de la taille de l’échantillon
|
nNzσeTEAE2
où srhts = l’écart type des erreurs observées dans la population
|
nNzσwTEAE2
nhNhNn.
où
σw2 = la moyenne pondérée des variances des erreurs pour l’ensemble des strates:
σw2Hi1NhNσeh2,h1,2,…,H;
et σeh2 = la variance des erreurs observées dans chaque strate
|
où
Nla taille de la population
zle coefficient z d’une distribution normale
TEl’erreur acceptable (au maximum 2 % des dépenses totales)
AEl’erreur anticipée
σel’écart type des erreurs
| Extrapolation des erreurs
| Dans le cadre de l’application des méthodes prêtes à l’emploi définies dans le présent règlement délégué, une seule méthode d’extrapolation, l’estimation du rapport, s’applique pour l’échantillonnage aléatoire simple (SRS) visé à l’article 5, paragraphe 1, point b), et la sélection avec égale probabilité (EPS) visée à l’article 6, paragraphe 1, point b), à des fins de simplification et de sécurité juridique. Cela ne limite pas l’application d’autres méthodes d’extrapolation par les autorités d’audit en vertu de l’article 79 du règlement (UE) 2021/1060.
|
Erreur extrapolée (SRS/sélection avec égale probabilité):
Si une strate exhaustive est utilisée, l’erreur extrapolée dans ce groupe correspond à la somme des erreurs trouvées dans les unités appartenant à la strate:
EEenei1Ei
Dans le cas de la strate aléatoire, l’erreur extrapolée est:
EEsBVni1Eini1BVi
L’erreur extrapolée au niveau de la population correspond à la somme des deux composantes susmentionnées:
EEEEeEEs
|
Erreur extrapolée (SRS/sélection avec égale probabilité):
Si une strate exhaustive est utilisée, l’erreur extrapolée dans ce groupe correspond à la somme des erreurs trouvées dans les unités appartenant à ces groupes:
EEeHh1nhi1Ehi
Dans le cas des strates aléatoires, l’erreur prévue est:
EEsHh1BVhnhi1Einhi1BVi
L’erreur extrapolée au niveau de la population correspond simplement à la somme des deux composantes susmentionnées:
EEEEeEEs
|
Précision de l’échantillonnage:
SENzsqn
où sq représente l’écart type de l’échantillon de la variable q:
qiEini1Eini1BViBVi.
La précision est calculée exclusivement avec les données relatives aux strates non exhaustives.
|
Précision de l’échantillonnage:
SENzsqwn
où
sqw2Hh1NhNsqh2
est une moyenne pondérée des variances de la variable qh de l’échantillon, avec:
qihEihnhi1Eihnhi1BVihBVih.
La précision est calculée exclusivement avec les données relatives aux strates non exhaustives.
2. 2. Échantillonnage aléatoire simple — deux périodes
| NON STRATIFIÉ | STRATIFIÉ
| Calcul de la taille de l’échantillon
|
Première période
n12zN12σew122TEAE2
où
σew122N1N12σe12N2N12σe22
N12N1N2
ntNtN12n12
|
Première période
n12zN12σew122TEAE2
où
σew122H1i1Nh1Nσh12H2i1Nh2Nσh22,
N12N1N2
nhtNhtN12n12
|
Deuxième période
n2zN2σe22TEAE2z2N12n1se12
|
Deuxième période
n2z2N2H2h1Nh2.σeh22TEAE2z2H1h1Nh12nh1.seh12
|
Remarques:
Si différentes approximations ne peuvent être obtenues ou ne sont pas applicables pour les écarts types de chaque période, la même valeur d’écart type peut être appliquée à toutes les périodes. Dans ce cas, σew12 correspond simplement à l’écart type unique des erreurs σe.
Le paramètre σ désigne l’écart type obtenu à partir de données auxiliaires (données historiques, par exemple) et le paramètre s désigne l’écart type obtenu à partir de l’échantillon contrôlé. Dans les formules, si le paramètre s n’est pas disponible, il peut être remplacé par σ.
Les formules énoncées sous l’intitulé «Première période» sont utilisées pour calculer la taille de l’échantillon après la première période d’échantillonnage de l’exercice comptable dans le cas d’un recalcul classique de la taille de l’échantillon visé à l’article 5, paragraphe 6, point a). Dans le cas du recalcul global de la taille de l’échantillon visé à l’article 5, paragraphe 6, point b), ces formules sont utilisées après la première période d’échantillonnage et, si nécessaire, également après la deuxième période d’échantillonnage, afin de s’adapter aux paramètres d’échantillonnage actualisés.
Les formules énoncées sous l’intitulé «Deuxième période» ne s’appliquent que dans le cas d’un recalcul classique de la taille de l’échantillon visé à l’article 5, paragraphe 6, point a). Elles sont utilisées pour recalculer la taille de l’échantillon de la deuxième période afin de l’ajuster aux paramètres d’échantillonnage actualisés. Si la formule aboutit à un nombre négatif, la formule et, par conséquent, l’approche classique du recalcul de la taille de l’échantillon ne peuvent pas être appliquées sur la base de l’ensemble établi des paramètres actualisés.
| Extrapolation des erreurs
| Dans le cadre de l’application des méthodes prêtes à l’emploi définies dans le présent règlement délégué, une seule méthode d’extrapolation, l’estimation du rapport, s’applique pour l’échantillonnage aléatoire simple (SRS) visé à l’article 5, paragraphe 1, point b), et la sélection à avec égale probabilité (EPS) visée à l’article 6, paragraphe 1, point b), à des fins de simplification et de sécurité juridique. Cela ne limite pas l’application d’autres méthodes d’extrapolation par les autorités d’audit en vertu de l’article 79 du règlement (UE) 2021/1060.
|
Erreur extrapolée (SRS/sélection avec égale probabilité):
Si une strate exhaustive est utilisée, l’erreur extrapolée dans ce groupe correspond à la somme des erreurs trouvées dans les unités appartenant aux strates:
EEen1i1E1in2i1E2i
Dans le cas des strates non exhaustives, l’erreur extrapolée est:
EEsBV1n1i1E1in1i1BV1iBV2n2i1E2in2i1BV2i
L’erreur extrapolée au niveau de la population correspond à la somme des deux composantes susmentionnées.
|
Erreur extrapolée (SRS/sélection avec égale probabilité):
Si une strate exhaustive est utilisée, l’erreur extrapolée correspond à la somme des erreurs trouvées dans les unités appartenant aux strates:
EEeH1h1nh1i1Eh1iH2h1nh2i1Eh2i
Dans le cas des strates non exhaustives, l’erreur extrapolée est:
EEsH1h1BVh1nh1i1Einh1i1BViH2h1BVh2nh2i1Einh2i1BVi1
L’erreur extrapolée au niveau de la population correspond à la somme des deux composantes susmentionnées.
|
Précision de l’échantillonnage:
SEzN12sq12n1N22sq22n2
qtiEtinti1Etinti1BVtiBVti
La précision est calculée exclusivement avec les données relatives aux strates non exhaustives.
|
Précision de l’échantillonnage:
SEzH1h1Nh12nh1.sqh12H2h1Nh22nh2.sqh22
qihtEihtnhti1Eihnhti1BVihBViht.
La précision est calculée exclusivement avec les données relatives aux strates non exhaustives.
2. 3. Échantillonnage aléatoire simple — trois périodes
| NON STRATIFIÉ | STRATIFIÉ
| Calcul de la taille de l’échantillon
|
Première période
n123zN123σew1232TEAE2
où
σew1232N1N123σe12N2N123σe22N3N123σe32
N123N1N2N3
ntNtN123n123
|
Première période
n123zN123σew1232TEAE2
où
σew1232H1i1Nh1Nσh12H2i1Nh2Nσh22H3i1Nh3Nσh32
N123N1N2N3
nhtNhtN123n123
|
Deuxième période
n23zN23σew232TEAE2z2N12n1se12
où
σew232N2N23σe22N3N23σe32
N23N2N3
ntNtN23n23
|
Deuxième période
n23z2N23σew23TEAE2z2H1h1Nh12nh1.seh12
σew232H2h1Nh2.σeh22H3h1Nh3.σeh32
|
Troisième période
n3zN3σe32TEAE2z2N12n1se12z2N22n2se22
|
Troisième période
n3z2N3σew3TEAE2z2H1h1Nh12nh1.seh12z2H2h1Nh22nh2.seh22
σew3H3h1Nh3.σeh32
|
Remarques:
Whenever different approximations for the standard-deviations of each period cannot be obtained/are not applicable, the same value of standard deviation may be applied to all periods. In such a case σew123 is just equal to the single standard-deviation of errors σe.
Le paramètre σ désigne l’écart type obtenu à partir de données auxiliaires (données historiques, par exemple) et le paramètre s désigne l’écart type obtenu à partir de l’échantillon contrôlé. Dans les formules, si le paramètre s n’est pas disponible, il peut être remplacé par σ.
Voir également les remarques susmentionnées pour l’échantillonnage aléatoire simple à deux périodes en ce qui concerne l’utilisation de l’approche classique pour le recalcul de la taille de l’échantillon et l’approche globale visées à l’article 5, paragraphe 6.
| Extrapolation des erreurs
| Dans le cadre de l’application des méthodes prêtes à l’emploi définies dans le présent règlement délégué, une seule méthode d’extrapolation, l’estimation du rapport, s’applique pour l’échantillonnage aléatoire simple (SRS) visé à l’article 5, paragraphe 1, point b), et la sélection avec égale probabilité (EPS) visée à l’article 6, paragraphe 1, point b), à des fins de simplification et de sécurité juridique. Cela ne limite pas l’application d’autres méthodes d’extrapolation par les autorités d’audit en vertu de l’article 79 du règlement (UE) 2021/1060.
|
Erreur extrapolée (SRS/sélection avec égale probabilité):
Dans le cas des strates exhaustives, l’erreur extrapolée correspond à la somme des erreurs trouvées dans les unités appartenant aux strates:
EEen1i1E1in2i1E2in3i1E3i
Dans le cas des strates non exhaustives, l’erreur extrapolée est:
EEsBV1n1i1E1in1i1BV1iBV2n2i1E2in2i1BV2iBV3n3i1E3in3i1BV3i
L’erreur extrapolée au niveau de la population correspond à la somme des deux composantes susmentionnées.
|
Erreur extrapolée (SRS/sélection avec égale probabilité):
Dans le cas des strates exhaustives, l’erreur extrapolée correspond à la somme des erreurs trouvées dans les unités appartenant aux strates:
EEeH1h1nh1i1Eh1iH2h1nh2i1Eh2iH2h1nh3i1Eh3i
Dans le cas des strates non exhaustives, l’erreur extrapolée est:
EEsH1h1BVh1nh1i1Einh1i1BViH2h1BVh2nh2i1Einh2i1BViH3h1Nh3nh3i1Einh3
L’erreur extrapolée au niveau de la population correspond à la somme des deux composantes susmentionnées.
|
Précision de l’échantillonnage:
SEzN12sq12n1N22sq22n2N32sq32n3
qtiEtinti1Etinti1BVtiBVti
La précision est calculée exclusivement avec les données relatives aux strates non exhaustives.
|
Précision de l’échantillonnage:
SEzH1h1Nh12nh1.sqh12H2h1Nh22nh2.sqh22H3h1Nh32nh3.sqh32
qihtEihtnhti1Eihnhti1BVihBViht.
La précision est calculée exclusivement avec les données relatives aux strates non exhaustives.